Factor común y factor común por agrupación 3er grado de secundaria

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∑ Matemáticas · 3.º de secundaria

Factor común y factor común por agrupación

Aprende a descubrir lo que varios términos tienen en común, separarlo y comprobar que tu factorización es correcta.

Tiempo sugerido: 35 a 50 min Ruta visual paso a paso Ritmo adaptable

Tu meta de hoy: no memorizar una regla. La meta es aprender a ver el patrón, explicar por qué funciona y comprobarlo usando la propiedad distributiva.

Progreso: 0 %

Etapa 1

Primero descubrimos desde dónde empezar

Son 6 preguntas breves. No cuentan como calificación. Sirven para adaptar el punto de inicio.

1

Haz una pregunta a la vez.

Elige la respuesta que te parezca correcta. Si no estás segura, puedes hacer una elección aproximada.

Antes de comenzar

Vamos a revisar tres ideas que necesitaremos: multiplicación, divisores y lectura de expresiones algebraicas.

Etapa 2

Teoría visual: encontrar lo que se repite

Factorizar significa transformar una suma o resta en una multiplicación equivalente.

Idea esencial

Observa:

3x + 3y

Los dos términos contienen un 3. Podemos sacarlo fuera de un paréntesis:

3x + 3y = 3(x + y)

El número 3 no desapareció. Cambió de posición porque utilizamos la propiedad distributiva al revés.

---

1 Primero mira los números

Busca el número mayor que pueda dividir exactamente a todos los coeficientes.

12x + 18 = 6(2x + 3)

6 divide exactamente a 12 y a 18.

2 Después mira las letras

Si todos los términos contienen la misma variable, toma la potencia común con el exponente más pequeño.

8x³ + 12x² = 4x²(2x + 3)

Ambos términos contienen al menos x².

Regla visual: un factor puede salir del paréntesis solamente si está presente en todos los términos que estás factorizando.

Partes de una expresión algebraica y su función

Elemento	Qué significa	Ejemplo	Qué observar
Coeficiente	Número que multiplica a una variable.	En 12x², el coeficiente es 12.	Busca divisores comunes.
Variable	Letra que representa un número.	x, y, a, b	Comprueba si aparece en todos los términos.
Exponente	Indica cuántas veces se multiplica una variable por sí misma.	x³ = x · x · x	Toma el menor exponente que todos compartan.
Factor común	Factor presente en todos los términos.	En 10x + 15x², un factor común es 5x.	Debe dividir exactamente a cada término.
Comprobación	Multiplicar de nuevo para verificar el resultado.	5x(2 + 3x) = 10x + 15x²	Debes recuperar la expresión inicial.

Cada término se separa en factor común × lo que queda.

¿Y si no todos los términos tienen el mismo factor?

A veces podemos formar grupos. Observa:

ax + ay + bx + by

Factorizamos cada grupo:

a(x + y) + b(x + y)

Ahora aparece el mismo binomio (x + y) en los dos grupos. Ese binomio se convierte en el nuevo factor común:

a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)

En agrupación, primero aparecen factores comunes pequeños y después aparece un factor común formado por un paréntesis completo.

Ruta rápida para decidir qué hacer

1

Mira todos los términos.

¿Hay un número o una letra presente en todos?

2

Extrae el factor común.

Divide cada término entre ese factor.

3

Si no hay uno para todos, busca grupos.

Comprueba si dos grupos pueden producir el mismo paréntesis.

4

Multiplica para comprobar.

Si recuperas exactamente la expresión inicial, la factorización es equivalente.

Etapa 3

Ejemplos resueltos paso a paso

No avances buscando rapidez. Observa qué decisión se toma en cada paso.

Ejemplo 1 · Factor común numérico y literal

18x³ + 24x²

1

Comparamos 18 y 24.

El mayor factor que divide exactamente a ambos es 6.

2

Comparamos x³ y x².

Ambos contienen x². Por eso el factor literal común es x².

3

Formamos el factor común completo.

6x²

4

Dividimos cada término entre 6x².

18x³ ÷ 6x² = 3x

24x² ÷ 6x² = 4

5

Escribimos la factorización.

18x³ + 24x² = 6x²(3x + 4)

Comprobación: 6x² · 3x = 18x³ y 6x² · 4 = 24x². Recuperamos exactamente la expresión inicial.

Ejemplo 2 · Factor común por agrupación

3x + 3y + 2x + 2y

1

Separamos visualmente en dos grupos.

3x + 3y + 2x + 2y

2

Factorizamos cada grupo.

3(x + y) + 2(x + y)

3

Detectamos el nuevo factor común.

Ahora ambos términos contienen el mismo paréntesis: (x + y).

4

Extraemos el binomio común.

(3 + 2)(x + y)

5(x + y)

Comprobación: 5(x + y) = 5x + 5y. Además, la expresión inicial también se simplifica a 5x + 5y, por lo que ambas expresiones son equivalentes.

Observación importante: este ejemplo permite simplificar los términos semejantes. En ejercicios posteriores aparecerán agrupaciones donde el resultado queda como producto de dos binomios.

Ejemplo visual adicional · Dos binomios

ax + ay + bx + by

1

Agrupamos: (ax + ay) + (bx + by).

2

Extraemos: a(x + y) + b(x + y).

3

El factor común ahora es (x + y).

4

ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y)

Al distribuir: a(x + y) + b(x + y) produce ax + ay + bx + by.

Laboratorio visual

Construye un factor común con tus manos

La factorización no necesita un simulador físico. En su lugar utilizaremos una visualización manipulable paso a paso.

1

Mueve un control a la vez.

Observa cómo cambian los términos y después descubre qué parte puede salir del paréntesis.

Expresión construida

6x² + 9x

6x²

+

9x

Busca primero un divisor común de 6 y 9. Después mira qué potencia de x comparten.

Factor común por descubrir

Factor numérico base

3

Multiplicador del primer término

2

Multiplicador del segundo término

3

Potencia común de x

1

Reto táctil: toca sólo lo que es común

Analiza: 12x² + 18x. Toca las tarjetas que representan factores presentes en ambos términos.

Construye una agrupación

Observa los cuatro términos:

+ + +

Toca primero los dos términos que pueden compartir el factor a. Después seleccionaremos el grupo con factor b.

Pausa breve opcional

Si notas cansancio, puedes hacer una pausa corta. Tu progreso permanecerá en esta página.

Cuando puedas explicar esto con tus palabras, estarás lista para practicar: “Factorizar es encontrar una multiplicación que representa exactamente la misma expresión”.

Etapa 4 · Nivel 1

Nivel 1 · Encuentra y extrae el factor común

Aquí practicarás primero con números y variables sencillas. El objetivo es reconocer el patrón antes de aumentar la dificultad.

1

Trabaja una idea a la vez.

Primero encuentra el factor común. Después observa qué queda dentro del paréntesis.

Nivel 1 · Básico Racha: 0

Reto visual

Pulsa “Comenzar práctica” para generar tu primer ejercicio.

Meta sugerida: intenta resolver correctamente al menos 6 ejercicios antes de pasar al Nivel 2.

Etapa 5 · Nivel 2

Nivel 2 · Factor común con potencias y signos

Ahora combinarás coeficientes, variables, exponentes y decisiones sobre el signo.

Recuerda: si tienes x⁵ y x³, la potencia común más grande es x³. Dentro del paréntesis quedará x² en el primer término.

Nivel 2 · Intermedio Racha: 0

Reto de estructura

Pulsa “Comenzar práctica” para generar un ejercicio.

Meta sugerida: busca mantener dos aciertos consecutivos sin pista antes de probar el Nivel 3.

Etapa 6 · Nivel 3

Nivel 3 · Factor común por agrupación

En este nivel buscarás patrones en cuatro términos hasta formar dos factores.

Estrategia de cuatro movimientos

1. Agrupa

Separa los cuatro términos en dos parejas útiles.

2. Factoriza cada pareja

Extrae un factor común dentro de cada grupo.

3. Busca el paréntesis repetido

Los dos grupos deben producir el mismo binomio.

4. Extrae ese binomio

Obtendrás normalmente el producto de dos binomios.

Nivel 3 · Avanzado Racha: 0

Reto de agrupación

Pulsa “Comenzar práctica” para generar un ejercicio.

Objetivo profundo: no basta con elegir una respuesta. Debes poder explicar qué paréntesis apareció repetido y por qué se convirtió en factor común.

Etapa 7

Examen de dominio

Son 10 reactivos mezclados de los tres niveles. En examen no hay pistas ni retroalimentación inmediata.

Antes de comenzar

• Responde las 10 preguntas.
• Puedes cambiar una respuesta antes de entregar.
• El cronómetro es informativo; no necesitas correr.
• Al finalizar recibirás calificación sobre 100 y revisión pregunta por pregunta.

Tu progreso

Panel de aprendizaje

Aquí puedes observar tu avance sin compararte con otras personas. La referencia es tu propio progreso.

0 Aciertos

0 Errores

0 Mejor racha

00:00 Tiempo de práctica

Dominio por nivel

Nivel 1

0 %

Nivel 2

0 %

Nivel 3

0 %

Nivel alcanzado: Básico

Gráfica de desempeño

Logros

Vitrina de insignias

Las insignias reconocen estrategias y constancia, no sólo respuestas correctas.

Primera victoria

Resuelve correctamente tu primer ejercicio.

Racha de cinco

Consigue 5 aciertos consecutivos.

Ojo algebraico

Completa 5 ejercicios de Nivel 1.

Guardiana de potencias

Logra 70 % de dominio en Nivel 2.

Maestra de grupos

Resuelve correctamente 5 retos de agrupación.

Sin pistas

Logra 4 aciertos seguidos sin solicitar ayuda.

Examen 90+

Obtén 90 puntos o más en un examen.

Dominio profundo

Alcanza al menos 80 % de dominio en los tres niveles.

Cierre

Lo importante que aprendiste

Factor común

Buscas una cantidad presente en todos los términos, la extraes y divides cada término entre ella.

ab + ac = a(b + c)

Agrupación

Formas grupos, factorizas cada uno y buscas un paréntesis que se repita.

ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y)

La prueba definitiva: distribuye nuevamente los factores. Si recuperas exactamente el polinomio original, la factorización es equivalente.

Explica con tus palabras

Antes de terminar, intenta completar mentalmente esta frase:

“Puedo sacar un factor fuera del paréntesis cuando...”

Una buena explicación menciona que el factor debe estar presente en todos los términos que se están factorizando.

¿Quieres dominar este tema con un asesor?

Puedes continuar practicando factor común, agrupación y comprobación paso a paso.

Nivel registrado: Básico

Agenda tu asesoría

Hoja de práctica · Factor común y agrupación

Nombre: __________________________________________

Fecha: ___________________________________________

1. Factoriza: 12x + 18

2. Factoriza: 15a + 25

3. Factoriza: 14x² + 21x

4. Factoriza: 20m³ + 30m²

5. Factoriza: 18x⁴ - 24x²

6. Factoriza: 16a³b + 24a²b²

7. Factoriza por agrupación: ax + ay + bx + by

8. Factoriza por agrupación: 3x + 3y + 5x + 5y

9. Factoriza por agrupación: 2ax + 2ay + 3bx + 3by

10. Comprueba mediante la propiedad distributiva: 6x²(2x + 3)